Stelling van Gauss-Lucas

Alle punten ${\displaystyle P}$ in een convexe n-hoek in het complexe vlak met hoekpunten ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ met plaatsvectoren ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n}}$ kunnen worden weergegeven als ${\displaystyle P=t_{1}\mathbf {a} _{1}+\ldots +t_{n}\mathbf {a} _{n}}$ met alle ${\displaystyle t_{i}\in [0,1]}$. Dat is voor een punt in veelhoeken met meer dan drie hoeken zelfs op meer manieren mogelijk.

Ieder polynoom ${\displaystyle f}$ van de graad ${\displaystyle n}$ in de variabele ${\displaystyle x}$ kan volgens de hoofdstelling van de algebra als het product worden geschreven van een constante en ${\displaystyle n}$ keer het verschil tussen ${\displaystyle x}$ en de nulpunten ${\displaystyle a_{i}}$ van ${\displaystyle f}$.

${\displaystyle f(z)=\alpha \prod _{i=1}^{n}(z-a_{i})}$

Het quotiënt van de afgeleide ${\displaystyle f'}$ van ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle f}$ zelf is

${\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{z-a_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {{\overline {z}}-{\overline {a_{i}}}}{|z-a_{i}|^{2}}}}$

Voor een nulpunt ${\displaystyle z}$ van ${\displaystyle f'}$ is

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {z}}{|z-a_{i}|^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {a_{i}}}{|z-a_{i}|^{2}}}}$

Dat betekent dat

${\displaystyle z=\sum _{i=1}^{n}{\frac {|z-a_{i}|^{-2}}{\sum _{j=1}^{n}|z-a_{j}|^{-2}}}a_{i}}$

${\displaystyle f'}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n}}$