Zèta-verdeling

In de kansrekening en de statistiek is de zèta-verdeling een discrete kansverdeling op de natuurlijke getallen ongelijk nul, die toepassing vindt in de taalwetenschap.

De zèta-verdeling met parameter ${\displaystyle a>1}$ wordt gegeven door de kansfunctie:

${\displaystyle p(n)={\frac {1}{\zeta (a)}}n^{-a}}$, voor ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$

Daarin is

${\displaystyle \zeta (a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{a}}}}$,

de riemann-zèta-functie, gedefinieerd voor ${\displaystyle a>1}$.

De termen zèta-verdeling en zipfverdeling worden soms door elkaar gebruikt, hoewel ze niet identiek zijn. Een zipfverdeling gedefinieerd voor alle gehele waarden is een zèta-verdeling.

Als de stochastische variabele ${\displaystyle X}$ een zèta-verdeling met parameter ${\displaystyle a}$ heeft, wordt het ${\displaystyle k}$-de moment gegeven door:

${\displaystyle \mathrm {E} (X^{k})={\frac {1}{\zeta (a)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{a-k}}}}$

Deze reeks is alleen convergent voor ${\displaystyle a-k>1}$, zodat

${\displaystyle \mathrm {E} (X^{k})={\begin{cases}\zeta (a-k)/\zeta (a)&{\text{ voor }}k<a-1\\\infty &{\text{ voor }}k\geq a-1\end{cases}}}$

• Paretoverdeling