p-adische norm

De ${\displaystyle p}$-adische norm, gedefinieerd voor elk priemgetal ${\displaystyle p}$, is een gegeneraliseerde absolute waarde op de rationale getallen anders dan de gewone absolute waarde en de triviale absolute waarde. Het belang van de ${\displaystyle p}$-adische norm ligt in de introductie van p-adische getallen. Volgens de stelling van Ostrowski is elke gegeneraliseerde absolute waarde op de rationale getallen equivalent met de gewone absolute waarde, de triviale, of een ${\displaystyle p}$-adische norm.

Als gevolg van de hoofdstelling van de rekenkunde zijn er bij een gegeven priemgetal ${\displaystyle p}$ voor elk rationaal getal ${\displaystyle q}$ gehele getallen ${\displaystyle t,n}$ en ${\displaystyle a}$ zo, dat:

${\displaystyle q=p^{a}\cdot {\frac {t}{n}}}$

en ${\displaystyle t}$ en ${\displaystyle n}$ niet door ${\displaystyle p}$ kunnen worden gedeeld.

De ${\displaystyle p}$-adische norm van ${\displaystyle q\neq 0}$ is dan gedefinieerd als:

${\displaystyle \|q\|_{p}=p^{-a}}$

Daarnaast is

${\displaystyle \|0\|_{p}=0}$

Bij elk rationaal getal ${\displaystyle q}$ zijn er priemgetallen ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$ en gehele getallen ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ zo, dat:

${\displaystyle q=p_{1}^{a_{1}}\cdot \ldots \cdot p_{n}^{a_{n}}}$.

Dus is voor ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle \|q\|_{p_{k}}=p_{k}^{-a_{k}}}$

en voor ieder ander priemgetal ${\displaystyle p}$:

${\displaystyle \|q\|_{p}=1}$

• De getallen ... −2, −1, 1, 2, 3, 4, 6, ... die niet door 5 kunnen worden gedeeld, hebben de 5-adische norm 5⁰ = 1.
• De getallen ... −10, −5, 5, 10, 15, 20, 30, ... zijn deelbaar door 5, maar niet door 25 en hebben dus de 5-adische norm ${\displaystyle 5^{-1}={\tfrac {1}{5}}}$.
• De getallen ... −50, −25, 25, 50, 75, 100, 150, ... hebben de 5-adische norm ${\displaystyle 5^{-2}={\tfrac {1}{25}}}$.
• ${\displaystyle \left|\left|{\frac {7}{250}}\right|\right|_{5}=5^{3}=125}$, vanwege de factor ${\displaystyle 5^{3}}$ in de noemer.
• Voor ${\displaystyle x={\tfrac {63}{550}}=2^{-1}\cdot 3^{2}\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}}$ geldt:

${\displaystyle \|x\|_{2}=2,\|x\|_{3}={\tfrac {1}{9}},\|x\|_{5}=25,\|x\|_{7}={\tfrac {1}{7}},\|x\|_{11}=11}$

${\displaystyle |x|_{p}=1}$ voor alle andere priemgetallen ${\displaystyle p}$.

• Cauchyrijen

Het hangt af van de gebruikte metriek of een rij al dan niet een cauchyrij is, .

De reeks ${\displaystyle 1+5+5^{2}+5^{3}+\ldots +5^{n}+\ldots }$ is normaal niet convergent, maar in de 5-adische norm wel. De som van de eerste ${\displaystyle n}$ termen is

${\displaystyle {\frac {1-5^{n}}{1-5}}=-{\frac {1}{4}}+{\frac {5^{n}}{4}}}$.

De 5-adische norm van de laatste term is ${\displaystyle 5^{-n}}$. De 5-adische limiet van deze reeks is gelijk aan ${\displaystyle -{\frac {1}{4}}}$.

De ${\displaystyle p}$-adische normen hebben een sterkere ongelijkheid dan de driehoeksongelijkheid:

${\displaystyle \|x\pm y\|_{p}\leq \max(\|x\|_{p},\|y\|_{p})}$

Een ultrametriek wordt door een dergelijke ongelijkheid bepaald. De bijbehorende metriek is dus een ultrametriek.

Uit deze ongelijkheid volgt meteen dat ${\displaystyle \|nx\|_{p}\leq \|x\|_{p}}$ met ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Men zegt in dit verband dat de p-adische norm niet-archimedisch is. Een belangrijk gevolg hiervan betreft de convergentie van oneindige reeksen. In ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$, en meer algemeen in elke complete ruimte met een niet-archimedische norm, is een oneindige reeks alleen dan convergent als haar algemene term naar nul gaat. Dit staat in schril contrast met de situatie in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, waar de grens tussen convergente en divergente reeksen veel moeilijker te trekken valt.

${\displaystyle \|q\|_{p}\geq 0}$

${\displaystyle \|q\|_{p}=0\Rightarrow q=0}$

${\displaystyle \|-q\|_{p}=\|q\|_{p}}$

${\displaystyle \|qr\|_{p}=\|q\|_{p}\|r\|_{p}}$

${\displaystyle \|q+r\|_{p}\leq \|q\|_{p}+\|r\|_{p}}$

${\displaystyle \|q+r\|_{p}\leq \max(\|q\|_{p},\|r\|_{p})}$

De ${\displaystyle p}$-adische norm induceert op ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ een ${\displaystyle p}$-adische metriek, een ultrametriek, door de afstandsfunctie met isometrische translaties

${\displaystyle d_{p}(a,b)=\|a-b\|_{p}}$

Beschouwen we de zo geconstrueerde 5-adische metriek, dan convergeert in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ de rij ${\displaystyle (1,5,5^{2},5^{3},5^{4},\ldots )}$ naar 0, terwijl de rij ${\displaystyle (1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{8}},\ldots )}$ weliswaar begrensd is, maar geen cauchyrij is, want voor alle ${\displaystyle n}$ is:

${\displaystyle d_{5}\left({\tfrac {1}{2^{n}}},{\tfrac {1}{2^{n+1}}}\right)=\left\|{\tfrac {1}{2^{n+1}}}\right\|_{5}=1}$