Equivalente matrices

Binnen de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, heten de ${\displaystyle m\times n}$-matrices ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ equivalent als er een inverteerbare ${\displaystyle m\times m}$-matrix ${\displaystyle P}$ en een inverteerbare ${\displaystyle n\times n}$-matrix ${\displaystyle Q}$ bestaan, zodanig dat

${\displaystyle B=PAQ}$

Equivalente matrices kunnen gezien worden als matrices van dezelfde lineaire afbeelding, maar ten opzichte van verschillende bases. Dat kan ingezien worden door de keuze van bases ${\displaystyle v_{1}}$ en ${\displaystyle v_{2}}$ van ${\displaystyle n}$ vectoren in ${\displaystyle V,}$ en ${\displaystyle w_{1}}$ en ${\displaystyle w_{2}}$ van ${\displaystyle m}$ vectoren in ${\displaystyle W,}$ zodanig dat de matrices ${\displaystyle Q}$ en ${\displaystyle P}$ basistransformaties zijn,

${\displaystyle Q=K_{v_{1}}K_{v_{2}}^{-1}\quad }$ van de overgang van ${\displaystyle v_{1}}$ op ${\displaystyle v_{2}}$

en

${\displaystyle P=K_{w_{2}}K_{w_{1}}^{-1}\quad }$ van de overgang van ${\displaystyle w_{1}}$ op ${\displaystyle w_{2}}$

Daarin zijn

${\displaystyle K_{v_{1}}:V\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle K_{v_{2}}:V\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle K_{w_{1}}:W\to \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle K_{w_{2}}:W\to \mathbb {R} ^{m}}$

de betrokken coördinatiseringen. Dan is

${\displaystyle B=PAQ=K_{w_{2}}K_{w_{1}}^{-1}AK_{v_{1}}K_{v_{2}}^{-1},}$

dus

${\displaystyle K_{w_{2}}^{-1}BK_{v_{2}}=K_{w_{1}}^{-1}AK_{v_{1}}={\mathcal {L}}:V\to W}$

een lineaire afbeelding die met betrekking tot de verschillende bases wordt voorgesteld door zowel ${\displaystyle A}$ als door ${\displaystyle B.}$

De relatie van equivalentie tussen matrices is inderdaad een equivalentierelatie, want:

• (Reflexiviteit) Elke matrix is equivalent met zichzelf; kies voor ${\displaystyle P}$ en ${\displaystyle Q}$ de geschikte eenheidsmatrices.
• (Symmetrie) Als ${\displaystyle A}$ equivalent met ${\displaystyle B,}$ is ook ${\displaystyle B}$ equivalent met ${\displaystyle A,}$ want ${\displaystyle P}$ en ${\displaystyle Q}$ zijn beide inverteerbaar, dus

${\displaystyle A=P^{-1}BQ^{-1}}$

• (Transiviteit) Als ${\displaystyle A}$ equivalent is met ${\displaystyle B,}$ en ${\displaystyle B}$ equivalent met ${\displaystyle C,}$ geldt:

${\displaystyle B=PAQ}$

en

${\displaystyle C=RBS}$,

zodat

${\displaystyle C=(RP)A(QS)}$

en dus is ook ${\displaystyle A}$ equivalent met ${\displaystyle C.}$

Equivalente matrices hebben dezelfde rang.

• Congruente matrices
• Gelijksoortige matrices