Congruente matrices

In de lineaire algebra zegt men van twee vierkante matrices ${\displaystyle A,B\in K^{n\times n}}$(over het lichaam (Ned) / Veld (Be) ${\displaystyle K}$) dat ze congruent zijn als er een inverteerbare matrix ${\displaystyle P\in K^{n\times n}}$ bestaat zodanig dat

${\displaystyle B=P^{\text{T}}\!\!AP}$,

waarin ${\displaystyle P^{\text{T}}}$ de getransponeerde aanduidt van ${\displaystyle P}$.

Twee matrices zijn dan en slechts dan congruent als ze beide een grammatrix zijn van dezelfde bilineaire vorm.

Stel dat ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ congruente ${\displaystyle n\times n}$-matrices zijn over een lichaam/veld ${\displaystyle K}$. Kies als basis de eenheidsvectoren ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ in ${\displaystyle V=K^{n}}$ en definieer de bilineaire vorm ${\displaystyle \alpha \colon V\times V\to K}$ door:

${\displaystyle \alpha (e_{i},e_{j})=A_{ij}}$

Dan is voor ${\displaystyle x,y\in K^{n}}$

${\displaystyle \alpha (x,y)=x^{\text{T}}\!\!Ay}$

De vectoren ${\displaystyle \{f_{1}=Pe_{1},\ldots ,f_{n}=Pe_{n}\}}$ vormen ook een basis en voor de bilineaire vorm met:

${\displaystyle \beta (f_{i},f_{j})=B_{ij}}$

geldt:

${\displaystyle \alpha (f_{i},f_{j})=f_{i}^{\text{T}}Af_{j}=(Pe_{i})^{\text{T}}A(Pe_{j})=e_{i}^{\text{T}}P^{\text{T}}\!\!APe_{j}=e_{i}^{\text{T}}Be_{j}=B_{ij}=\beta (f_{i},f_{j})}$

dus ${\displaystyle \beta =\alpha }$.

Stel omgekeerd dat de matrices ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ beide de bilineaire vorm ${\displaystyle \lambda \colon V\times V\to K}$ representeren. Dan zijn er bases ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ en ${\displaystyle \{f_{1},\ldots ,f_{n}\}}$, zodat:

${\displaystyle \lambda (x,y)=x_{e}^{\text{T}}\!Ay_{e}=x_{f}^{\text{T}}\!By_{f}=(Px_{f})^{\text{T}}\!A(Py_{f})=x_{f}^{\text{T}}\!P^{\text{T}}\!\!APy_{f}}$

waarin ${\displaystyle x_{e},\,x_{f},\,y_{e},\,y_{f}}$ de getallenrijtjes zijn van de coördinaten van ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ ten opzichte van de bases ${\displaystyle \{e\}}$ en ${\displaystyle \{f\}}$, en ${\displaystyle P}$ de matrix van de basistransformatie is. Kennelijk is:

${\displaystyle B=P^{\text{T}}\!\!AP}$,

dus zijn ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ congruent.

Matrix-congruentie is een equivalentierelatie, want:

• (Reflexiviteit) Elke matrix is congruent aan zichzelf; neem ${\displaystyle P=\mathbb {I} }$ de eenheidsmatrix.
• (Symmetrie) Als ${\displaystyle B}$ congruent is met ${\displaystyle A}$, is ook ${\displaystyle A}$ congruent met ${\displaystyle B}$, want ${\displaystyle P}$ is inverteerbaar, dus

${\displaystyle A=(P^{-1})^{\text{T}}\!BP^{-1}}$

• (Transitiviteit) Als ${\displaystyle A}$ congruent is met ${\displaystyle B}$ en ${\displaystyle B}$ congruent met ${\displaystyle C}$, geldt dat er inverteerbare matrices ${\displaystyle P}$ en ${\displaystyle Q}$ bestaan zodat

${\displaystyle A=P^{\text{T}}\!BP}$

en

${\displaystyle B=Q^{\text{T}}\!CQ}$,

Hieruit volgt dat

${\displaystyle A=(QP)^{\text{T}}\!C(QP)}$,

en, omdat met ${\displaystyle P}$ en ${\displaystyle Q}$ ook ${\displaystyle QP}$ inverteerbaar is, is ${\displaystyle A}$ dus congruent met ${\displaystyle C}$.

• Gelijksoortige matrices
• Equivalente matrices