Constante van Apéry

Irrationale getallen: ${\displaystyle \zeta {(3)}}$ √2 √3 √5 ${\displaystyle \varphi }$ e π
Verschillende representaties van ζ(3)
binair	1,0011 0011 1011 1010…
decimaal	1,20205 69031 59594 2854…
hexadecimaal	1,33BA 004F 0062 1383…
kettingbreuk	${\displaystyle 1+{\frac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{\ddots \qquad {}}}}}}}}}}$ Merk op dat deze kettingbreuk oneindig is. Maar het is onbekend of deze kettingbreuk periodiek is of niet.

In de wiskunde is de constante van Apéry een wiskundige constante met de waarde ${\displaystyle \zeta (3)}$, de waarde van de riemann-zèta-functie voor het getal 3.

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{3}}}\right)=\\&=1{,}20205\;69031\;59594\;28539\;97381\;61511\;44999\;07649\;86292\,\ldots \end{aligned}}}$

In 1979 bewees Roger Apéry dat ${\displaystyle \zeta {(3)}}$. een irrationaal getal is. Onbekend is of het getal ook transcendent is. De constante komt op een natuurlijke manier voor in enkele problemen in de fysica.^[1]

In 1772 gaf de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler de volgende reeksontwikkeling voor dit getal:

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left(1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}\right)}$

Andere reeksontwikkelingen zijn onder andere

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&={\frac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}\\\zeta (3)&={\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{3}}}\end{aligned}}}$