Wortel 3

Irrationale getallen: ζ(3) √2 √3 √5 φ e π
√3 uitgedrukt in verschillende getalstelsels
binair	1,1011 1011 0110 0111 1010…
decimaal	1,73205 08075 68877 2935…
zestientallig	1,BB67 AE85 84CA A73B …
als kettingbreuk	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}$

Wortel 3 is het positieve reële getal dat vermenigvuldigd met zichzelf het getal 3 oplevert. Het heeft een waarde van ongeveer 1,73205 en wordt wel de hoofdwaarde van wortel 3 genoemd, om verwarring te voorkomen met hetzelfde getal, maar dan negatief, te voorkomen dat gekwadrateerd ook 3 geeft. Wortel 3 wordt genoteerd als √3. Zoals √2 de lengte is van de diagonaal van een vierkant in het platte vlak, is volgens de stelling van Pythagoras √3 de lengte van de lichaamsdiagonaal van een kubus in de ruimte.

√3 kan niet als een breuk van gehele getallen worden geschreven en is daarmee een irrationaal getal.^[1] Het staat ook bekend als de Constante van Theodorus, genoemd naar Theodorus van Cyrene, die bewees dat √3 irrationaal is. Volgens de definitie van gebroken machten is √3 gelijk aan ${\displaystyle 3^{\frac {1}{2}}}$.

De eerste 60 cijfers van de decimale weergave van √3 zijn:

1,73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 5580….^[2]

In december 2013 was de waarde van wortel 3 berekend tot ten minste tien miljard cijfers.^[3]

• Wortel 3 kan door de breuk 97/56 ≈ 1,732142857… worden benaderd. Ondanks de kleine noemer van maar 56 wijkt deze benadering minder dan 1/10,000, ongeveer 9,2×10⁻⁵, af van de juiste waarde. De afronding tot 1,732 is nauwkeurig binnen 0,01% van de echte waarde.
• Archimedes klemde 3 in tussen de kwadraten van twee breuken^[4]
  

(265/153)² < 3 < (1351/780)²

en vond met die breuken twee benaderingen die nauwkeurig zijn tot op 2/23409, in vier decimalen, en 1/608400, in zes decimalen, respectievelijk.

De volgende geneste uitdrukkingen convergeren naar √3:

${\displaystyle {\sqrt {3}}=2-2\left({\tfrac {1}{2}}-\left({\tfrac {1}{2}}-\left({\tfrac {1}{2}}-\left({\tfrac {1}{2}}-\ldots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}=}$

${\displaystyle ={\frac {7}{4}}-4\left({\frac {1}{16}}+\left({\frac {1}{16}}+\left({\frac {1}{16}}+\left({\frac {1}{16}}+\dots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}}$

Voor de eerste uitdrukking geldt bijvoorbeeld:

${\displaystyle 2-2\,({\tfrac {1}{2}}-A)^{2}=x}$,

met ${\displaystyle A}$ recursief bepaald door:

${\displaystyle A=({\tfrac {1}{2}}-A)^{2}}$

Dus

${\displaystyle A={\tfrac {1}{4}}-A+A^{2}}$,

waaruit volgt

${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}=1-2A+A^{2}=(1-A)^{2}}$

dus

${\displaystyle A=1-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$,

zodat inderdaad

${\displaystyle x=2-{\tfrac {1}{2}}\,({\sqrt {3}}-1)^{2}={\sqrt {3}}}$