Sturm-liouvilleprobleem

In de wiskundige analyse is een sturm-liouvilleprobleem een naar Charles Sturm en Joseph Liouville genoemde 2e-orde differentiaalvergelijking over het eindige interval ${\displaystyle I=[a,b]}$ van de vorm:

${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x){\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y(x)=\lambda w(x)y(x)}$

met de niet-triviale randvoorwaarden:

${\displaystyle \alpha _{1}y(a)+\alpha _{2}y'(a)=0}$

${\displaystyle \beta _{1}y(b)+\beta _{2}y'(b)=0}$

Hierin zijn de functies ${\displaystyle p,\ p',\ q}$ en ${\displaystyle w}$ continu en reëelwaardig, met ${\displaystyle p(x)>0}$ en ${\displaystyle w(x)>0}$.

Het probleem kan geformuleerd worden met behulp van de lineaire differentiaaloperator

${\displaystyle L={\frac {1}{w}}\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)}$

en heeft dan de vorm van het eigenwaardeprobleem:

${\displaystyle Ly=\lambda \,y}$

Er is altijd de triviale oplossing ${\displaystyle y(x)=0}$, maar voor sommige waarden van ${\displaystyle \lambda }$ bestaan er niet-nul oplossingen. Dit zijn de zogenaamde eigenwaarden ${\displaystyle \lambda _{n}}$ met bijhorende eigenfuncties ${\displaystyle y_{n}(x)}$.

De hoofdresultaten van de Sturm-Liouvilletheorie zijn:

• De eigenwaarden ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots }$ zijn reëel en kunnen geordend worden om een strikt stijgende rij te vormen:

${\displaystyle \lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots <\lambda _{n}<\ldots }$

met limiet

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\lambda _{n}=+\infty }$

• De bij ${\displaystyle \lambda _{n}}$ horende eigenfunctie ${\displaystyle y_{n}(x)}$ is uniek op een constante niet-nulfactor na, en heeft exact ${\displaystyle n-1}$ nulpunten in het interval ${\displaystyle (a,b)}$.

• De eigenfuncties ${\displaystyle y_{n}(x)}$ vormen na normeren een orthogonale basis voor de gewichtsfunctie ${\displaystyle w(x)}$ over ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \langle y_{n},y_{m}\rangle =\int _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{mn}}$

Sturm-Liouvilleproblemen hebben praktisch nut, omdat ze veel voorkomen in de wiskundige natuurkunde, bijvoorbeeld in elektromagnetisme, kwantummechanica en akoestiek.