Kleine stelling van Fermat

De kleine stelling van Fermat zegt dat voor ieder priemgetal $p$ en ieder geheel getal $a$ geldt:

a^{p}\equiv a{\bmod {p}}

De stelling is genoemd naar Pierre de Fermat (1601 of 1606/7 - 1665).

Als $a$ en $p$ onderling ondeelbaar zijn is de stelling equivalent met de uitspraak:

a^{p-1}\equiv 1{\bmod {p}}

Als $a$ een veelvoud van $p$ is, geldt:

a^{p-1}\equiv 0{\bmod {p}}

De stelling wordt bijvoorbeeld gebruikt om bij modulair rekenen de restklasse van een groot getal uit te rekenen en is in 1736 door Leonhard Euler bewezen.

Bewijs van de kleine stelling van Fermat

Laat $a,p\in \mathbb {Z}$ zijn en $p$ een priemgetal.

a{\bmod {p}}

is de rest bij geheeltallige deling van

a

door

p

Het bewijs van de kleine stelling maakt gebruik van een hulpstelling over modulair rekenen:

Voor $a{\bmod {p}}\neq 0$ geldt:

a\cdot m\equiv a\cdot n{\bmod {p}}\ \Longleftrightarrow \ m\equiv n{\bmod {p}}

dus ook

a\cdot m\not \equiv a\cdot n{\bmod {p}}\ \Longleftrightarrow \ m\not \equiv n{\bmod {p}}

Bewijs voor de kleine stelling:

Zij $p$ een priemgetal en $a\in \mathbb {Z}$ . Er zijn twee mogelijkheden:

$a{\bmod {p}}=0$

Het spreekt in dit geval vanzelf dat

a^{p}\equiv a{\bmod {p}}

.

$a{\bmod {p}}\neq 0$ .

Beschouw alle getallen

1,2,\ldots ,p-1

. Deze

p-1

getallen zijn modulo

p

ongelijk aan 0. Het product

ab

van een van deze getallen

b

met

a

is modulo

p

weer gelijk aan een van deze getallen.

a\not \equiv 0{\bmod {p}}

en als

a\cdot b\equiv 0{\bmod {p}}

, dan

a{\bmod {p}}=0

of

b{\bmod {p}}=0

. Het product

ab

kan dus geen 0 zijn.

Voor

x,y\in \{1,2,\ldots ,p-1\}

geldt dat

x\not \equiv y{\bmod {p}}\Leftrightarrow a\cdot x\not \equiv a\cdot y{\bmod {p}}

. Dus vormen de getallen

a\cdot 1,a\cdot 2,\ldots ,a\cdot (p-1){\bmod {p}}

een permutatie van de getallen

1,2,\ldots ,p-1

.

Hieruit volgt voor de vermenigvuldiging met

a

dat

(1\cdot a)\cdot (2\cdot a)\cdot \ldots \cdot ((p-1)\cdot a){\bmod {p}}=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot (p-1)

, dus is

1\cdot 2\cdot \ldots \cdot (p-1)\cdot a^{p-1}\equiv 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot (p-1){\bmod {p}}

.

Daaruit volgt dat

a^{p-1}\equiv 1{\bmod {p}}

en door beide zijden met

a

te vermenigvuldigen dat

a^{p}\equiv a{\bmod {p}}

.

Pseudo-priemgetallen

Het omgekeerde van de kleine stelling van Fermat is niet algemeen geldig. Als voor zekere gehele $a$ en $k$ geldt dat

a^{k}\equiv a{\bmod {k}}

,

dan is $k$ niet noodzakelijk een priemgetal.

Een getal $q$ dat geen priemgetal is, maar waarvoor geldt dat

a^{q}\equiv a{\bmod {q}}

voor zekere $a$ wordt een pseudopriemgetal genoemd. Als $q$ de eigenschap heeft dat het bovengenoemde geldt voor elke $a$ , dan heet $q$ een carmichael-getal. Hierbij is de naam fermattest bedacht: als een getal $r$ voldoet aan

a^{r}\equiv a{\bmod {r}}

voor zekere $a$ dan is $r$ een priemgetal of een pseudo-priemgetal.

Er is bewezen dat er oneindig veel pseudo-priemgetallen bestaan, maar binnen de gehele getallen zijn de pseudo-priemgetallen wel 'dunner gezaaid' dan de priemgetallen.

Laatste stelling van Fermat

De kleine stelling van Fermat mag niet worden verward met de laatste stelling van Fermat, die zegt dat de vergelijking $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ geen geheeltallige oplossing heeft verschillend van 0 voor alle gehele waarden van $n$ groter dan 2. De stelling werd in november 1994 bewezen door de Britse wiskundige Andrew Wiles.

Literatuur

M.C. van Hoorn, college over kleine stelling van Fermat aan de RUG