Pierce-expansie

De Pierce-expansie of Pierce-ontwikkeling van een reëel getal ${\displaystyle x}$ in het interval ${\displaystyle (0,1)}$ is de unieke, stijgende rij van positieve gehele getallen ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$ waarvoor geldt:

${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}-{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}-\ldots }$

met afwisselend positieve en negatieve termen. Ze is genoemd naar de wiskundige T.A. Pierce van de universiteit van Nebraska, die ze in 1929 formuleerde.^[1]

Een Pierce-expansie van een getal is eindig dan en slechts dan als dat getal een rationaal getal is. Irrationale getallen hebben een oneindige Pierce-expansie.

Elke eindige of oneindige rij van stijgende positieve getallen ${\displaystyle (a_{i})}$ is de Pierce-expansie van een reëel getal tussen 0 en 1.

Als de expansie wordt afgebroken bij de ${\displaystyle n}$-de term is de fout ten hoogste gelijk aan de absolute waarde van de ${\displaystyle (n+1)}$-de term en dus zeker kleiner dan de absolute waarde van de ${\displaystyle n}$-de term.

De som van de oneven en van de even termen in de Pierce-expansie is respectievelijk een bovengrens en een ondergrens van het getal ${\displaystyle x.}$

De Pierce-expansie kan men berekenen met het onderstaande algoritme:^[2]

• Stel ${\displaystyle u_{0}=x}$
• Bereken voor ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$:
  • ${\displaystyle a_{k}=\left\lfloor {\frac {1}{u_{k-1}}}\right\rfloor }$
  • ${\displaystyle u_{k}=1-a_{k}u_{k-1}}$
• Stop zodra ${\displaystyle u_{k}=0}$

Daarrin is ${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$ de entier van ${\displaystyle a}$.

De Pierce-expansie van ${\displaystyle 0{,}37}$ geeft achtereenvolgens:

${\displaystyle u_{0}=0{,}37}$

${\displaystyle a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}37}}\right\rfloor =2}$

${\displaystyle u_{1}=1-a_{1}u_{0}=1-2\cdot 0,37=0{,}26}$

${\displaystyle a_{2}=\left\lfloor {\frac {1}{0,26}}\right\rfloor =3}$

${\displaystyle u_{2}=1-a_{2}u_{1}=1-3\cdot {0{,}26}=0{,}22}$

${\displaystyle a_{3}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}22}}\right\rfloor =4}$

${\displaystyle u_{3}=1-a_{3}u_{2}=1-4\cdot {0{,}22}=0{,}12}$

${\displaystyle a_{4}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}12}}\right\rfloor =8}$

${\displaystyle u_{4}=1-a_{4}u_{3}=1-8\cdot {0{,}12}=0{,}04}$

${\displaystyle a_{5}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}04}}\right\rfloor =25}$

${\displaystyle u_{5}=1-a_{5}u_{4}=1-25\cdot {0{,}04}=0}$

De Pierce-expansie van 0,37 is dus (2, 3, 4, 8, 25), en inderdaad is:

${\displaystyle 0{,}37={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}-{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 8}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 8\cdot 25}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}-{\frac {1}{192}}+{\frac {1}{4800}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=(3,22,118,383,571,635,70529,375687,399380,575584,\dots )}$ - rij A006283 in OEIS

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=(1,3,8,33,35,39201,39203,60245508192801,60245508192803,218662352649181293830957829984632156775201,\dots )}$ - rij A091831 in OEIS

${\displaystyle \ln(2)=(1,3,12,21,51,57,73,85,96,1388,\dots )}$ - rij A091846 in OEIS

${\displaystyle {\frac {1}{e}}=(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,\dots )}$ - rij A020725 in OEIS

De Pierce-expansie van ${\displaystyle 1/e}$ is dus de reeks van natuurlijke getallen vanaf 2; en die van

${\displaystyle 1-e^{-1}=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,\ldots )}$ - de natuurlijke getallen.

Dit is de Pierce-expansie waarvan de termen het langzaamst kleiner worden. In het algemeen stijgen de getallen in een Pierce-expansie min of meer exponentieel.

Het aantal elementen van de eindige Pierce-expansie van een rationaal getal ${\displaystyle b/a,{\text{ met }}(b<a)}$ is de lengte van de expansie, genoteerd als ${\displaystyle P(a,b)}$. ${\displaystyle P(a)}$ is de grootste lengte van de Pierce-expansies van alle rationale getallen ${\displaystyle b/a}$ met ${\displaystyle b=1,\ldots ,a}$:^[3]

${\displaystyle P(a)=\max\{P(a,b)\mid 1\leq b\leq a\}}$

Verscheidene wiskundigen hielden zich bezig met de studie van de lengte van Pierce-expansies en van de verwante Engel-expansies, in het bijzonder met het bepalen van zo goed mogelijke boven- en ondergrenzen voor ${\displaystyle P(a)}$.

Shallit^[2] bewees dat ${\displaystyle 2{\sqrt {a}}}$ een bovengrens is van ${\displaystyle P(a)}$.

Paul Erdős en Shallit^[4] gaven in 1991 een verbeterde asymptotische bovengrens, in grote-O-notatie:

${\displaystyle P(a)=O(a^{{\frac {1}{3}}+\delta })}$

waarin ${\displaystyle \delta }$ een willekeurig klein positief reëel getal is.

Vlado Kešelj^[3] leidde in 1996 een nog betere bovengrens af:

${\displaystyle P(a)=O((a\cdot \log(a))^{\frac {1}{3}})}$

Voor de asymptotische ondergrens van ${\displaystyle P(a)}$ vond hij:

${\displaystyle P(a)=O\left({\frac {\log(a)}{\log(\log(a))}}\right)}$

Hierin is ${\displaystyle \log }$ de natuurlijke logaritme. Uit computerberekeningen bleek dat de bovengrens voor grote ${\displaystyle a}$ nog steeds een ruime overschatting is.

• Engel-expansie, analoog aan de Pierce-expansie maar met enkel positieve termen.

• Wolfram MathWorld: Pierce Expansion