Passieve en actieve rotatie

Rotaties in de driedimensionale ruimte worden onderscheiden in actieve rotaties en passieve rotaties. Een object dat een actieve rotatie ondergaat, wordt daadwerkelijk gedraaid en neemt een nieuwe positie in de ruimte in. Een actieve rotatie wordt daarom ook alibitransformatie genoemd, van alibi, het Latijnse woord voor elders. Ondergaat een object daarentegen een passieve rotatie, dan blijft het object zelf op z'n plaats in de ruimte, maar wordt zijn positie bepaald ten opzichte van een nieuw assenstelsel dat door de tegengestelde rotatie uit het oude assenstelsel is ontstaan. Een passieve rotatie heet daarom ook aliastransformatie, Latijn: álias víces, ook genoemd.

In de linkerfiguur wordt het punt ${\displaystyle P}$ actief met de wijzers van de klok mee gedraaid over een hoek ${\displaystyle \theta }$ naar het punt ${\displaystyle P'}$. Het punt ${\displaystyle P'}$ heeft nieuwe coördinaten.

In de rechterfiguur blijft het punt ${\displaystyle P}$ op z'n plaats, maar ondergaat een passieve rotatie doordat het assenstelsel tegen de wijzers van de klok in wordt gedraaid over een hoek ${\displaystyle \theta }$. Als gevolg hiervan krijgt ${\displaystyle P}$ ten opzichte van dit gedraaide assenstelsel ook nieuwe coördinaten.

Door in dit voorbeeld de passieve rotatie tegengesteld aan de actieve te kiezen zijn de nieuwe coördinaten in beide gevallen dezelfde.

In de euclidische ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ vormen de eenheidsvectoren ${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\ \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\ \mathbf {e} _{z}(0,0,1)}$ het rechtshandige assenstelsel ${\displaystyle xyz}$.

De rotatie ${\displaystyle \mathbf {R} _{a}}$ wordt bepaald door de beelden van de eenheidsvectoren in het ${\displaystyle xyz}$-stelsel:

${\displaystyle \mathbf {R} _{a}e_{x}=\mathbf {r} _{1}}$

${\displaystyle \mathbf {R} _{a}e_{y}=\mathbf {r} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {R} _{a}e_{z}=\mathbf {r} _{3}}$

Een vector ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}$ wordt door de rotatie ${\displaystyle \mathbf {R} _{a}}$ actief afgebeeld op de vector

${\displaystyle \mathbf {V} =(V_{x},V_{y},V_{z})=\mathbf {R} _{a}(v)=v_{x}\mathbf {r} _{1}+v_{y}\mathbf {r} _{2}+v_{z}\mathbf {r} _{3}=[\mathbf {R} _{a}](v_{x},v_{y},v_{z})}$,

waarin ${\displaystyle [\mathbf {R} _{a}]}$ de bij ${\displaystyle \mathbf {R} _{a}}$ behorende matrix is.

De coördinaten van het beeld kunnen worden berekend als:

${\displaystyle (V_{x},V_{y},V_{z})=[\mathbf {R} _{a}](v_{x},v_{y},v_{z})}$,

dus als het matrixproduct van de matrix van de rotatie ${\displaystyle \mathbf {R} _{a}}$ met de vector ${\displaystyle \mathbf {v} }$.

Bij een passieve rotatie ${\displaystyle \mathbf {R} _{p}}$ wordt een tweede rechtshandig assenstelsel, het ${\displaystyle XYZ}$-stelsel, gevormd uit het stelsel ${\displaystyle xyz}$ door de actieve rotatie ${\displaystyle \mathbf {R} _{p}^{-1}}$ in tegengestelde richting. De eenheidsvectoren in dit ${\displaystyle XYZ}$-stelsel zijn de geroteerde eenheidsvectoren van het ${\displaystyle xyz}$-stelsel:

${\displaystyle e_{X}=\mathbf {R} _{p}^{-1}e_{x}=\mathbf {r'} _{1}}$

${\displaystyle e_{Y}=\mathbf {R} _{p}^{-1}e_{y}=\mathbf {r'} _{2}}$

${\displaystyle e_{Z}=\mathbf {R} _{p}^{-1}e_{z}=\mathbf {r'} _{3}}$

De vector ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}$ in het ${\displaystyle zyz}$-stelsel heeft in het ${\displaystyle XYZ}$-stelsel de coördinaten ${\displaystyle v_{X},v_{Y},v_{Z}}$:

${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})=v_{X}\mathbf {r'} _{1}+v_{Y}\mathbf {r'} _{2}+v_{Z}\mathbf {r'} _{3}=v_{X}\mathbf {R} _{p}^{-1}(1,0,0)+v_{Y}\mathbf {R} _{p}^{-1}(0,1,0)+v_{Z}\mathbf {R} _{p}^{-1}(0,0,1)=\mathbf {R} _{p}^{-1}(v_{X},v_{Y},v_{Z})}$

Dus is

${\displaystyle (v_{x},v_{y},v_{z})=\mathbf {R} _{p}^{-1}(v_{X},v_{Y},v_{Z})}$

of anders geschreven in matrixvorm

${\displaystyle [\mathbf {R} _{p}](v_{x},v_{y},v_{z})=(v_{X},v_{Y},v_{Z})}$

De nieuwe coördinaten zijn dus het matrixproduct van de matrix ${\displaystyle [\mathbf {R} _{p}]}$ van de rotatie ${\displaystyle \mathbf {R} _{p}}$ met de vector ${\displaystyle \mathbf {v} }$. Men zegt dat de vector ${\displaystyle \mathbf {v} }$ een passieve rotatie ${\displaystyle \mathbf {R} _{p}}$ heeft ondergaan.

Bij een actieve rotatie ${\displaystyle \mathbf {R} _{a}}$ worden de objecten gedraaid. Het beeld van een vector ${\displaystyle \mathbf {v} }$ is de vector ${\displaystyle \mathbf {R} _{a}\mathbf {v} }$. Bij een passieve rotatie ${\displaystyle \mathbf {R} _{p}}$ wordt het assenstelsel in tegengestelde richting gedraaid met de rotatie ${\displaystyle \mathbf {R} _{p}^{-1}}$. Nu stelt ${\displaystyle \mathbf {R} _{p}\mathbf {v} }$ de coördinaten van een vector ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ten opzichte van het gedraaide assenstelsel voor.

Noemt men het beeld van het punt ${\displaystyle P}$ de nieuwe ${\displaystyle P}$, dan kan men zeggen dat bij een actieve rotatie men de coördinaten van de nieuwe ${\displaystyle P}$ in het oude stelsel berekent en bij een passieve rotatie de coördinaten van de oude ${\displaystyle P}$ in het nieuwe stelsel.

Het matrixproduct ${\displaystyle [\mathbf {R} ](v_{x},v_{y},v_{z})}$ van de matrix van de rotatie ${\displaystyle \mathbf {R} }$ met de vector ${\displaystyle \mathbf {v} }$ kan als een actieve rotatie worden opgevat en dan stelt dit product de geroteerde vector voor, of als een passieve rotatie en dan stelt dit product de coördinaten van ${\displaystyle \mathbf {v} }$ voor ten opzichte van het in tegengestelde richting geroteerde assenstelsel.

Kiest men bij een passieve rotatie ${\displaystyle \mathbf {R} _{p}}$ de rotatie van het assenstelsel tegengesteld aan de rotatie bij een actieve rotatie ${\displaystyle \mathbf {R} _{a}}$, dan zijn de nieuwe coördinaten bij de actieve rotatie gelijk aan de nieuwe coördinaten bij de passieve rotatie. Dan is namelijk

${\displaystyle \mathbf {R} _{p}=\mathbf {R} _{a}}$

dus

${\displaystyle (V_{x},V_{y},V_{z})=\mathbf {R} _{a}(v_{x},v_{y},v_{z})=\mathbf {R} _{p}(v_{x},v_{y},v_{z})=(v_{X},v_{Y},v_{Z})}$

Let op het verschil tussen ${\displaystyle (V_{x},V_{y},V_{z})}$, de oude coördinaten van de nieuwe ${\displaystyle \mathbf {v} }$ en ${\displaystyle (v_{X},v_{Y},v_{Z})}$, de nieuwe coördinaten van de oude ${\displaystyle \mathbf {v} }$.

De onderstaande matrix ${\displaystyle \mathbf {R} }$ beschrijft een rotatie om de as ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}({\sqrt {3}},{\sqrt {3}},{\sqrt {3}})}$ over een hoek van 90°.

${\displaystyle R={\tfrac {1}{3}}{\begin{pmatrix}1&1-{\sqrt {3}}&1+{\sqrt {3}}\\1+{\sqrt {3}}&1&1-{\sqrt {3}}\\1-{\sqrt {3}}&1+{\sqrt {3}}&1\end{pmatrix}}}$

De vector ${\displaystyle \mathbf {v} =(1,-1,0)}$ wordt actief gedraaid naar de vector ${\displaystyle \mathbf {Rv} =\mathbf {R} (1,-1,0)={\tfrac {1}{3}}({\sqrt {3}},{\sqrt {3}},-2{\sqrt {3}})}$.

Bij een passieve rotatie met de draaiing ${\displaystyle \mathbf {R} }$ wordt het assenstelsel gedraaid met de tegengestelde rotatie ${\displaystyle \mathbf {R} ^{-1}=\mathbf {R} ^{*}}$:

${\displaystyle \mathbf {R} ^{*}={\tfrac {1}{3}}{\begin{pmatrix}1&1+{\sqrt {3}}&1-{\sqrt {3}}\\1-{\sqrt {3}}&1&1+{\sqrt {3}}\\1+{\sqrt {3}}&1-{\sqrt {3}}&1\end{pmatrix}}}$

en worden de nieuwe eenheidsvectoren gegeven door de kolommen van deze matrix.

De coördinaten van ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ten opzichte van dit nieuwe stelsel worden gegeven door:

${\displaystyle (\mathbf {R} ^{*})^{-1}\mathbf {v} =\mathbf {Rv} =\mathbf {R} (1,-1,0)={\tfrac {1}{3}}({\sqrt {3}},{\sqrt {3}},1-{\sqrt {3}})}$,

wat dezelfde getallen zijn als de coördinaten van ${\displaystyle \mathbf {Rv} }$ bij de actieve rotatie, maar met een andere betekenis. Bij de actieve rotatie betekent ${\displaystyle \mathbf {Rv} ={\tfrac {1}{3}}({\sqrt {3}},{\sqrt {3}},1-{\sqrt {3}})}$, dat

${\displaystyle \mathbf {Rv} ={\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\ (1,0,0)+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\ (0,1,0)+{\tfrac {1}{3}}(1-{\sqrt {3}})\ (0,0,1)}$,

terwijl bij de passieve rotatie de coördinaten de betekenis hebben:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\ (1,1-{\sqrt {3}},1+{\sqrt {3}})+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\ (1+{\sqrt {3}},1,1-{\sqrt {3}})+{\tfrac {1}{3}}(1-{\sqrt {3}})\ (1-{\sqrt {3}},1+{\sqrt {3}},1)}$

Vooral in de robotica wordt de beweging van een object vaak aan de hand van een assenstelsel beschreven, dat met het object verbonden is, een lichaamseigen stelsel. Een verplaatsing van het object betekent dan, afgezien van een translatie, een passieve rotatie. Het assenstelsel waarin het object beweegt, bijvoorbeeld een aardgebonden assenstelsel, ondergaat dan een rotatie met betrekking tot het lichaamseigen stelsel. Bij meer objecten kunnen al die verschillende lichaamseigen stelsels snel onoverzichtelijk worden. Het zal dan eenvoudiger zijn één vast aardgebonden stelsel te kiezen en de beweging van de objecten, weer afgezien van translaties, als actieve rotaties te beschrijven.

• Dirk Struik. Lectures on Analytic and Projective Geometry, 1953. blz 84, Addison-Wesley.

• Rigid Bodies, 22 oktober 2012. voor de Utah State University
• MathWorld. Alibi Transformation. actieve transformatie
• MathWorld. Alias Transformation. passieve transformatie