Kruisingsdriehoek

Gegeven twee driehoeken ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$ en ${\displaystyle \triangle A_{2}B_{2}C_{2}}$. De kruisingsdriehoek van deze driehoeken is de driehoek met hoekpunten:

• ${\displaystyle A_{3}}$ het snijpunt van lijnen ${\displaystyle B_{1}C_{2}}$ en ${\displaystyle B_{2}C_{1}}$
• ${\displaystyle B_{3}}$ het snijpunt van lijnen ${\displaystyle A_{1}C_{2}}$ en ${\displaystyle A_{2}C_{1}}$
• ${\displaystyle C_{3}}$ het snijpunt van lijnen ${\displaystyle A_{1}B_{2}}$ en ${\displaystyle A_{2}B_{1}}$

Met deze nieuwe driehoek is iedere driehoek de kruisingsdriehoek van de andere twee. De drie driehoeken hebben hier index 1, 2 en 3. ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$ wordt in de meeste gevallen als referentiedriehoek gezien en ${\displaystyle \triangle A_{3}B_{3}C_{3}}$ heet de kruisingsdriehoek van ${\displaystyle \triangle A_{2}B_{2}C_{2}}$.

Als ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$ en ${\displaystyle \triangle A_{2}B_{2}C_{2}}$ perspectief zijn, zijn ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$ en ${\displaystyle \triangle A_{3}B_{3}C_{3}}$ dat ook, evenals ${\displaystyle \triangle A_{2}B_{2}C_{2}}$ en ${\displaystyle \triangle A_{3}B_{3}C_{3}}$.

Voor de drie perspectiviteitscentra ${\displaystyle D_{1}}$ van ${\displaystyle \triangle A_{2}B_{2}C_{2}}$ en ${\displaystyle \triangle A_{3}B_{3}C_{3}}$, ${\displaystyle D_{2}}$ van ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$ en ${\displaystyle \triangle A_{3}B_{3}C_{3}}$ en ${\displaystyle D_{3}}$ van ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$ en ${\displaystyle \triangle A_{2}B_{2}C_{2}}$ geldt, dat ze op één lijn liggen. Deze lijn heet de perspectiviteitsas van de drie driehoeken.

Hierdoor vormen de viertallen punten ${\displaystyle A_{i}B_{i}C_{i}D_{i}}$ voor ${\displaystyle i=1,2}$ en ${\displaystyle 3}$ de projectie op het platte vlak van een desmische configuratie. Om die reden worden, als ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$ als referentiedriehoek wordt gezien, ${\displaystyle \triangle A_{2}B_{2}C_{2}}$ en ${\displaystyle \triangle A_{3}B_{3}C_{3}}$ desmisch gekoppeld genoemd.^[1]

We kunnen de kruisingsdriehoeken kantelen: ook elk van de driehoeken ${\displaystyle \triangle A_{1}A_{2}A_{3}}$, ${\displaystyle \triangle B_{1}B_{2}B_{3}}$ en ${\displaystyle \triangle C_{1}C_{2}C_{3}}$ is kruisingsdriehoek van de andere twee. Bovendien als de driehoeken ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$ en ${\displaystyle \triangle A_{2}B_{2}C_{2}}$ perspectief zijn, dan is elk paar van deze drie dat ook. Met de punten

• ${\displaystyle A_{4}=A_{1}A_{2}\cap A_{2}A_{3}\cap A_{1}A_{3}}$
• ${\displaystyle B_{4}=B_{1}B_{2}\cap B_{2}B_{3}\cap B_{1}B_{3}}$
• ${\displaystyle C_{4}=C_{1}C_{2}\cap C_{2}C_{3}\cap C_{1}C_{3}}$

op de perspectiviteitsas, krijgen we weer een desmische configuratie.

• Als de hoekpunten van ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$ en ${\displaystyle \triangle A_{2}B_{2}C_{2}}$ op een kegelsnede liggen, dan is volgens de stelling van Pascal hun kruisingsdriehoek ontaard.
• Is ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$ ingeschreven in ${\displaystyle \triangle A_{2}B_{2}C_{2}}$, dan is hun kruisingsdriehoek ${\displaystyle \triangle A_{2}B_{2}C_{2}}$ zelf.