Drievlakshoek

Een drievlakshoek of soms ruimtedriehoek is een figuur in de stereometrie, in de ruimtemeetkunde. De figuur is dat deel van de ruimte dat door drie hoeken wordt begrensd, waarvan de benen drie halve lijnen zijn die door één punt gaan, maar niet in één vlak liggen.

De drie vlakken, die door de drie hoeken worden bepaald, die de drievlakshoek begrenzen, zijn de zijden van de drievlakshoek. De benen van de hoeken zijn de ribben van de drievlakshoek. Het gemeenschappelijke punt van de ribben is het hoekpunt, soms ook top van de drievlakshoek.

• In een driedimensionaal coördinatenstelsel zijn enkele drievlakshoekken aan te wijzen, bijvoorbeeld de drievlakshoek bepaald door de drie positieve coördinaatsassen.
• Ieder hoekpunt van een regelmatig viervlak, kubus en een regelmatig twaalfvlak is het hoekpunt van een drievlakshoek.

De drievlakshoek heeft eigenschappen die veel aan de eigenschappen van een driehoek doen denken.

• Stelling 1. Als twee zijden van een drievlakshoek gelijk zijn, dan zijn de hoeken tegenover deze zijden gelijk.
• Stelling 2. De som van twee zijden van een drievlakshoek is groter dan de derde zijde.

Stelling 1 

Gegeven. Drievlakshoek T.ABC met β = ∠ATC, γ = ∠ATB en β = γ. Vlak(ABA') ⊥ TB en vlak(ACA') ⊥ TC.

Te bewijzen. ∠ABA' = ∠ACA'.

Bewijs. Er geldt ∠ABT = ∠ACT = 90°, ∠ATB = ∠ATC en AA' = AA'. Daarmee zijn de driehoeken ATB en ATC congruent (z,h,h), zodat AB = AC.

∠AA'B = ∠AA'C = 90° en dan blijkt dat ook de driehoeken ABA' en ACA' congruent (z,z,r) zijn. Dus is ∠ABA' = ∠ACA'.

Stelling 2 

Gegeven. Drievlakshoek T.ABC waarvan γ de grootste zijde is; zie figuur 3.

Te bewijzen. α + β > γ.

Bewijs. Het te bewijzen kan worden vervangen door γ – β < α. Kies nu in het vlak ATB het punt C' zó dat ∠ATC' = ∠ATC = β. Dan moet worden bewezen dat ∠BTC' < ∠BTC.

Kies daartoe op de halfrechte TB het punt Q (willekeurig) en op de halfrechten OC' en OC de punten R' en R met TR' = TR. De lijn QR' snijdt TA in P. Zoals is na te gaan, zijn de driehoeken PTR en PTR' congruent (z,h,z), waaruit dan volgt dat PR = PR'. In driehoek PQR geldt volgens de driehoeksongelijkheid:

PR + RQ > PQ

Aftrekking van PR = PR' geeft dan:

RQ > PQ – PR' = R'Q

De driehoeken QTR en QTR' hebben daarmee twee paren zijden gelijk, terwijl de derde zijde van de eerste groter is dan de derde zijde van de tweede. Volgens de (omgekeerde) scharnierstelling voor deze driehoeken is dan ∠QTR > ∠QTR', of ook α > γ – β.

• PM v Bemmel. De Ruimtedriehoek of Drievlakshoek - een hoofdstuk uit de ruimte-meetkunde, bewerkt voor leerlingen van Hoogere Burgerscholen en Gymnasia, 1911. gearchiveerd door de Universiteit van Michigan
• A v Dop en A v Haselen. Stereometrie voor V.H. en M.O., 1959. bij JB Wolters, 6e druk
• P Molenbroek. Leerboek der Stereometrie, 1934. bij P Noordhoff, 8e druk, herzien door P Wijdenes
• HG Telkamp. Structuren van de veelvlakken, 2006. in de Nieuwe Wiskrant 25, 4, blz 11–17 met bijlage