Asymmetrische relatie

In de wiskunde is een asymmetrische relatie een tweeplaatsige relatie ${\displaystyle R}$ van verzameling ${\displaystyle X}$ waar voor elke ${\displaystyle a,b\in X}$ geldt dat als ${\displaystyle (a,b)\in R}$ dan ${\displaystyle (b,a)\notin R}$. ^[1]

Een tweeplaatsige relatie op ${\displaystyle X}$ is elke deelverzameling ${\displaystyle R}$ van ${\displaystyle X\times X}$. Als gegeven is dat ${\displaystyle a,b\in X}$, schrijft men ${\displaystyle aRb}$ dan en slechts dan als ${\displaystyle (a,b)\in R}$. De uitdrukking ${\displaystyle aRb}$ wordt gelezen als "${\displaystyle a}$ is gerelateerd aan ${\displaystyle b}$ via ${\displaystyle R}$."

Een tweeplaatsige relatie ${\displaystyle R}$ is asymmetrisch wanneer voor alle ${\displaystyle a,b\in X}$ geldt: als ${\displaystyle aRb}$ waar is, dan is ${\displaystyle bRa}$ onwaar. Dat wil zeggen, als ${\displaystyle (a,b)\in R}$, dan ${\displaystyle (b,a)\notin R}$.

Dit kan in de taal van de eerste-orde-predicatenlogica geschreven worden als $${\displaystyle \forall a,b\in X:aRb\implies \lnot (bRa).}$$Een logisch equivalente definitie is:

voor alle ${\displaystyle a,b\in X,}$ is óf ${\displaystyle aRb}$ onwaar, óf ${\displaystyle bRa}$ onwaar, óf ze zijn allebei onwaar.

In de taal van de eerste-orde-predicatenlogica kan dat als volgt worden geschreven:$${\displaystyle \forall a,b\in X:\lnot (aRb\wedge bRa).}$$Een relatie is asymmetrisch dan en slechts dan als zij zowel antisymmetrisch als irreflexief is.

Een voorbeeld van een asymmetrische relatie is de "is kleiner dan" relatie ${\displaystyle <}$ tussen reële getallen: als ${\displaystyle x<y}$ dan is ${\displaystyle y}$ uitsluitend groter dan ${\displaystyle x}$. Elke strikte partiële orde is een asymmetrische relatie, maar niet elke asymmetrische relatie is een strikte partiële orde. Een voorbeeld van een asymmetrische, intransitieve relatie relatie is de steen-papier-schaar relatie. Stel, ${\displaystyle X}$ verslaat ${\displaystyle Y,}$ dan verslaat ${\displaystyle Y}$ niet ${\displaystyle X;}$ en stel, ${\displaystyle X}$ verslaat ${\displaystyle Y}$ en ${\displaystyle Y}$ verslaat ${\displaystyle Z,}$ dan verslaat ${\displaystyle X}$ niet ${\displaystyle Z.}$

Het is voldoende als er aan één van de volgende voorwaarden gedaan wordt, wil relatie ${\displaystyle R}$ asymmetrisch zijn. ^[2]

• ${\displaystyle R}$ is irreflexief en antisymmetrisch (dit is ook nodig)
• ${\displaystyle R}$ is irreflexief en transitief. Een transitieve relatie is asymmetrisch dan en slechts dan als zij irreflexief is: als ${\displaystyle aRb}$ en ${\displaystyle bRa,}$ volgt uit transitiviteit ${\displaystyle aRa,}$ wat in tegenspraak is met irreflexiviteit. Deze relatie is een strikte partiele orde.
• ${\displaystyle R}$ is antitransitief en antisymmetrisch
• ${\displaystyle R}$ is antitransitief en transitief