Appell-veeltermen

In de wiskunde duidt men met Appell-veeltermen of Appell-rij een veeltermrij aan, met de eigenschap dat de afgeleide van de ${\displaystyle n}$-de veelterm gelijk is aan ${\displaystyle n}$ maal de ${\displaystyle (n-1)}$-de veelterm. Ze zijn genoemd naar de Franse wiskundige Paul Appell, die er in 1880 een artikel over publiceerde.^[1]

Een Appell-rij is dus een rij veeltermen ${\displaystyle A_{0}(x),A_{1}(x),\dots ,A_{n-1}(x),A_{n}(x),\ldots }$ waarbij ${\displaystyle A_{n}(x)}$ een veelterm is van graad ${\displaystyle n}$, en

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A_{n}(x)}{\mathrm {d} x}}=nA_{n-1}(x)}$

Er zijn oneindig veel rijen van veeltermen die hieraan voldoen; de eenvoudigste is wellicht de rij

${\displaystyle 1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\dots }$

van de opeenvolgende machten van de variabele ${\displaystyle x}$. Maar men kan met een willekeurige rij getallen ${\displaystyle a_{i},i=0,1,\ldots (a_{0}\neq 0)}$ een Appell-rij maken; de overeenkomstige rij is:

${\displaystyle A_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}{n \choose k}x^{n-k}}$,

waarvan de eerste termen zijn:

${\displaystyle A_{0}(x)=a_{0}}$

${\displaystyle A_{1}(x)=a_{0}x+a_{1}}$

${\displaystyle A_{2}(x)=a_{0}x^{2}+2a_{1}x+a_{2}}$

${\displaystyle A_{3}(x)=a_{0}x^{3}+3a_{1}x^{2}+3a_{2}x+a_{3}}$

${\displaystyle A_{4}(x)=a_{0}x^{4}+4a_{1}x^{3}+6a_{2}x^{2}+4a_{3}x+a_{4}}$

enzovoort. De ${\displaystyle n}$-de veelterm wordt recursief bepaald door:

${\displaystyle A_{n}(x)=\int _{0}^{x}A_{n-1}(t)\mathrm {d} t+a_{n}}$

waarin de integratieconstante ${\displaystyle a_{n}}$ vrij te kiezen is (op voorwaarde dat ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$ is). Als men ${\displaystyle a_{0}=1,a_{1}=a_{2}=\ldots =0}$ kiest, verkrijgt men de machten van ${\displaystyle x}$.

Hermite-veeltermen (mits scalering), bernoulli- en euler-veeltermen zijn voorbeelden van Appell-rijen. Bernoulli-veeltermen verkrijgt men door als integratieconstanten de Bernoulligetallen te nemen.

Appell noemde de functie

${\displaystyle f(h)=a_{0}+a_{1}h+{\tfrac {a_{2}}{2!}}h^{2}+\ldots +{\tfrac {a_{n}}{n!}}h^{n}+\ldots }$

de voortbrengende functie van een Appell-rij. Bij elke ${\displaystyle f(h)}$ met gegeven coëfficiënten ${\displaystyle (a_{i})}$ hoort een Appell-rij ${\displaystyle (A_{n})}$ en omgekeerd. Het verband komt tot uiting indien men het product maakt van ${\displaystyle f(h)}$ met

${\displaystyle e^{hx}=1+hx+{\tfrac {h^{2}}{2!}}x^{2}+\ldots +{\tfrac {h^{n}}{n!}}x^{n}+\dots }$

Als men dit product rangschikt naar de machten van ${\displaystyle h}$, is de coëfficiënt van ${\displaystyle {\tfrac {h^{n}}{n!}}}$ gelijk aan ${\displaystyle A_{n}}$:

${\displaystyle f(h)e^{hx}=A_{0}+A_{1}h+A_{2}{\tfrac {h^{2}}{2!}}+\ldots +A_{n}{\tfrac {h^{n}}{n!}}+\ldots }$

Voor de machten van ${\displaystyle x}$ is de voortbrengende functie ${\displaystyle f(h)=1}$.

Met de voortbrengende functie ${\displaystyle f(h)=1-h}$ krijgt men:

${\displaystyle (1-h)e^{hx}=1+(x-1)h+(x^{2}-2x){\tfrac {h^{2}}{2!}}+(x^{3}-3x^{2}){\tfrac {h^{3}}{3!}}+\ldots }$

wat de veeltermrij ${\displaystyle A_{n}=x^{n}-nx^{n-1}}$ oplevert.

Als de functie ${\displaystyle f(h)}$ de rij ${\displaystyle (A_{i}),i=0,1,2,\ldots }$ voortbrengt, en ${\displaystyle (B_{i}),i=0,1,2,\ldots }$ wordt voortgebracht door de afgeleide ${\displaystyle f'(h)}$, is het verband tussen beide rijen:

${\displaystyle B_{n}=A_{n+1}-xA_{n}}$

Als de functie ${\displaystyle f(h)}$ de rij ${\displaystyle (A_{i}),i=0,1,2,\ldots }$ voortbrengt, en ${\displaystyle (C_{i}),i=0,1,2,\ldots }$ wordt voortgebracht door de integraal ${\displaystyle \int {f(h)\mathrm {d} h}}$,is het verband tussen beide rijen:

${\displaystyle C_{n}=C_{0}x^{n}+A_{0}x^{n-1}+\ldots +A_{n-2}x+A_{n-1}}$

Hierin is ${\displaystyle C_{0}}$ een willekeurige integratieconstante.

• Planet Math: Appell sequence