Ampersandkromme

De ampersandcurve is een vlakke wiskundige kromme die twee takken heeft die lijken op een ampersand; vandaar de naam, bedacht door Cundy en Rowlett.^[1] De kromme heeft de volgende vergelijking in cartesiaanse coördinaten:

${\displaystyle (y^{2}-x^{2})(x-1)(2x-3)=4(x^{2}+y^{2}-2x)^{2}}$

Het is een kromme met genus 0. De kromme snijdt zichzelf drie keer. De coördinaten van de snijpunten zijn ${\displaystyle (0,0),(1,1)}$ en ${\displaystyle (1,-1)}$.

De kromme kan ook in termen van poolcoördinaten beschreven worden:

${\displaystyle r^{2}(2\cos {2\theta }+\cos {4\theta }+9)-r(37\cos {\theta }+5\cos {3\theta })+(22\cos {2\theta }+16)=0}$

De oppervlakte van het gebied binnen de kromme is ongeveer gelijk aan 1,06656.

De kromme bezit vier horizontale en twee verticale raaklijnen.

Horizontaal

De coördinaten van de raakpunten van de horizontale raaklijnen zijn:

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}\right)}$,

${\displaystyle \left({\frac {1}{120}}\left(159-{\sqrt {201}}\right),\pm {\frac {1}{40}}{\sqrt {1389+67{\sqrt {\frac {67}{3}}}}}\right)}$

en

${\displaystyle \left({\frac {1}{120}}\left(159+{\sqrt {201}}\right),\pm {\frac {1}{40}}{\sqrt {1389-67{\sqrt {\frac {67}{3}}}}}\right)}$

Verticaal

De coördinaten van de raakpunten van de verticale raaklijnen zijn:

${\displaystyle \left(-{\frac {1}{10}},{\frac {1}{10}}{\sqrt {23}}\right)}$ en ${\displaystyle \left({\frac {3}{2}},\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\right)}$

• (en) Ampersandcurve op MathWorld